LeetCode94 - 最长公共子序列 | 很多时候不懂事

📝 题目描述

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列，返回 0。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

示例：

示例 1：

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 
输出：3  
解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。

示例 2：

输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。

示例 3：

输入：text1 = "abc", text2 = "def"
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。

提示：

1 <= text1.length, text2.length <= 1000
text1 和 text2 仅由小写英文字符组成。

💡 解题思路

方法一：动态规划

最长公共子序列问题是典型的二维动态规划问题。

假设字符串 $text_1$ 和 $text_2$ 的长度分别为 $m$ 和 $n$ ，创建 $m+1$ 行 $n+1$ 列的二维数组 $dp$ ，其中 $dp[i][j]$ 表示 $text_1[0:i]$ 和 $text_2[0:j]$ 的最长公共子序列的长度。

上述表示中， $text_1[0:i]$ 表示 $text_1$ 的长度为 $i$ 的前缀， $text_2[0:j]$ 表示 $text_2$ 的长度为 $j$ 的前缀，不是指“ $text_1[0]$ 到 $text_1[i]$ ”，也就是说 $text_1[0:0]$ 是空字符串。

接下来考虑动态规划的边界情况：

当 $i=0$ 时， $text_1[0:i]$ 为空，空字符串和任何字符串的最长公共子序列的长度都是 $0$ ，因此对任意 $0≤j≤n$ ，有 $dp[0][j]=0$ ；
当 $j=0$ 时， $text_2[0:j]$ 为空，同理可得，对任意 $0≤i≤m$ ，有 $dp[i][0]=0$ 。

因此动态规划的边界情况是：当 $i=0$ 或 $j=0$ 时， $dp[i][j]=0$ 。

当 $i>0$ 且 $j>0$ 时，考虑 $dp[i][j]$ 的计算：

当 $text_1[i−1]=text_2[j−1]$ 时，将这两个相同的字符称为公共字符，考虑 $text_1[0:i−1]$ 和 $text_2[0:j−1]$ 的最长公共子序列，再增加一个字符（即公共字符）即可得到 $text_1[0:i]$ 和 $text_2[0:j]$ 的最长公共子序列，因此 $dp[i][j]=dp[i−1][j−1]+1$ 。
当 $text_1[i−1] \neq text_2[j−1]$ $t e x t_{1} [i - 1] \neq = t e x t_{2} [j - 1]$ 时，考虑以下两项：
- $text_1[0:i−1]$ 和 $text_2[0:j−2]$ 的最长公共子序列；
- $text_1[0:i−2]$ 和 $text_2[0:j−1]$ 的最长公共子序列。
  要得到 $text_1[0:i]$ 和 $text_2[0:j]$ 的最长公共子序列，应取两项中的长度较大的一项，因此 $dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i][j−1])$ 。

由此可以得到如下状态转移方程：

$dp[i][j] = \begin{cases} dp[i][j]=dp[i−1][j−1]+1, \ text1[i−1]=text2[j−1] \\ max(dp[i−1][j],dp[i][j−1]), \ text1[i−1] \neq text2[j−1] \end{cases}$

最终计算得到 $dp[m][n]$ 即为 $text_1$ 和 $text_2$ 的最长公共子序列的长度。

🔧 代码实现

1、动态规划

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        int m = text1.size(), n = text2.size();
        // 多分配一行一列，自动初始化为0，处理了边界问题
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));
        
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                // 注意：字符串的索引要减 1
                if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

📊 复杂度分析

1、动态规划

时间复杂度： $O(mn)$ ，其中 $m$ 和 $n$ 分别是字符串 $text_1$ 和 $text_2$ 的长度。二维数组 $dp$ 有 $m+1$ 行和 $n+1$ 列，需要对 $dp$ 中的每个元素进行计算。
空间复杂度： $O(mn)$ ，其中 $m$ 和 $n$ 分别是字符串 $text_1$ 和 $text_2$ 的长度。创建了 $m+1$ 行 $n+1$ 列的二维数组 $dp$ 。

🎯 总结

核心思想：记住可以把 $dp$ 数组的长宽各增加 $1$ ，这样就可以避免对边界条件进行额外处理，有点类似于链表的哨兵节点。