LeetCode95 - 编辑距离 | 很多时候不懂事

📝 题目描述

题目链接：编辑距离

给你两个单词 word1 和 word2，请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

插入一个字符
删除一个字符
替换一个字符

示例：

示例 1：

输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')

示例 2：

输入：word1 = "intention", word2 = "execution"
输出：5
解释：
intention -> inention (删除 't')
inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')
enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')
exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')
exection -> execution (插入 'u')

提示：

0 <= word1.length, word2.length <= 500
word1 和 word2 由小写英文字母组成

💡 解题思路

方法一：动态规划

这个题目可以参照“最长公共子序列”的 $dp$ 思路，即创建二维数组 $dp[i][j]$ ，代表将 $word1$ 的前 $i$ 个字符，转换成 $word2$ 的前 $j$ 个字符，所需要的最少操作数。

上述表示中，需要注意 $dp[i][j]$ 中的 $i$ 和 $j$ 代表的是前 $i$ 和 $j$ 个字符，因此当 $i$ 或 $j$ 为 $0$ 时，则代表前 $0$ 个字符，也就是空串。

首先我们需要初始化， $dp[i][0] = i$ ，不难想象，把一个长度为 $i$ 的单词变成空字符串，唯一的办法就是删除 $i$ 次。 $dp[0][j] = j$ ，把一个空字符串变成长度为 $j$ 的单词，唯一的办法就是插入 $j$ 次。

接下来开始找出状态转移方程，考虑两个非空前缀，把它们写成：

$A+a⟶B+b$

其中，a、b 是末尾字符，A、B 是去掉末尾字符后的前缀。

假设 a != b，我们有三种方式完成转换：

选择	方法	操作数
删除`a`	删掉源前缀末尾的`a`，再把 `A` 变成 `B+b`	$1 + dp[i-1][j]$
插入`b`	先把`A+a` 变成 `B`，再在末尾插入 `b`	$dp[i][j-1] + 1$
把`a` 替换成 `b`	先把`A` 变成 `B`，再把末尾的 `a` 替换成 `b`	$dp[i-1][j-1] + 1$

因此，

$dp[i][j] = min({dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1, dp[i - 1][j - 1] + 1});$

同时，如果 a = b，那么问题更加简单，只需要将把 A 变成 B 即可；

$dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;$

综上我们得到了算法的全部流程。

🔧 代码实现

1、动态规划

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        int m = word1.size(), n = word2.size();
        // 创建dp数组
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            dp[0][i] = i;
        }
        for (int i = 0; i <= m; i++) {
            dp[i][0] = i;
        }
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                } else {
                    dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]}) + 1;
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

📊 复杂度分析

1、动态规划

时间复杂度： $O(mn)$ ，其中 $m$ 为 $word1$ 的长度， $n$ 为 $word2$ 的长度。
空间复杂度： $O(mn)$ ，我们需要大小为 $m \times n$ 的数组来记录状态值。

🎯 总结

核心思想：仿照“最长公共子序列”的 $dp$ 思路解题。